Propiedades del triángulo de Pascal

Propiedades del triángulo de Pascal

Triángulo de Pascal con algunas casillas coloreadas. Se puede observar como se distribuyen los valores simétricamente alrededor del eje vertical. Los valores de las casillas de ambos lados (en amarillo, verde y rojo) tienen igual valor, debido a la propiedad de simetría.

Los casillas exteriores, (en azul) tienen valor nulo y las casillas en violeta proporcionan un ejemplo de la regla de Pascal.

Cada uno de los valores de un triángulo de Pascal escritos en forma de tabla corresponden a un coeficiente de la expansión de una potencia de sumas. Concretamente, el número en la línea ny la columna p corresponde a

 , o también denotado como ( por "combinación") y se dice «n sobre p»,«combinación de n en p» o «coeficiente binomial n, p». Las casillas vacías corresponden a valores nulos. Usando las propiedades de los coeficientes binomiales, se pueden obtener las siguientes propiedades de cualquier triángulo de Pascal con todo rigor:

Los valores de cada fila del triángulo guardan simetría respecto al eje vertical imaginario del mismo, debido a que 

·         Los valores correspondientes a la zona fuera del triángulo tienen valor 0, puesto que  cuando p > n.

·         Y claro, la regla de Pascal de construcción del triángulo da la relación fundamental de los coeficientes binomiales 

Una consecuencia interesante del triángulo de Pascal es que la suma de todos los valores de una fila cualquiera del triángulo es una potencia de 2. Esto es debido a que, por el teorema del binomio, la expansión de la n-potencia de (1 + 1) = 2 es   

que corresponde precisamente con la suma de todos los valores de la n-ésima fila de un triángulo de Pascal.

• Números poligonales
  
  
  ¿Podríais decir qué sucesiones son las que forman las diagonales del triángulo? Las primeras de la izquierda y la derecha no son más que unos. Las segunda forman la sucesión de los números naturales... ¿Y la tercera? ¿Y la cuarta?
  
  
  
  En la diagonal tercera marcada aparecen

los números triangulares

, pero además en la inmediata inferior aparecen los números tetragonales, es decir, los que forman las pirámides triangulares, cuyos pisos son a su vez números triangulares

 Los números cuadrados

se encuentran en el triángulo de Pascal recurriendo a la misma diagonal que en el caso anterior: construimos cada uno sumando dos números triangulares consecutivos. Eso nos proporciona: 1, 4, 9, 16, 25, ... 

De hecho, por este método recurrente podemos construir todos los números poligonales, y en ese sentido están presentes en el triángulo de Pascal. 

  Números primos

Si el primer elemento de una fila es un número primo, todos los números de esa fila serán divisibles por él (menos el 1, claro). Así, en la fila 7: (1 7 21 35 35 21 7 1), los números 7,21 y 35 son divisibles por 7.

  La suma de los elementos

La suma de los elementos de cualquier fila es el resultado de elevar 2 al número que define a esa fila. Así:

2⁰ = 1

2¹ = 1+1 = 2

2² = 1+2+1 = 4

2³ = 1+3+3+1 = 8

2⁴ = 1+4+6+4+1 = 16

  Sucesión de Fibonacci

La serie de Fibonacci puede ser encontrada también en el triángulo de Pascal. Dividiendo al mismo según las líneas que mostramos en el diagrama, los números atrapados entre ellas suman cada uno de los elementos de esta sucesión. 

Recordemos que esta sucesión (que, por cierto, se construye de manera similar al triángulo de Pascal), es:

1,1,2,3,5,8,13,21,...

(a_n+1 = a_n + a_n-1con a₀ = 1, a₁= 1)

  Potencias de 11 

Podemos interpretar cada fila como un único número. Si la fila está formada por números de un solo dígito, basta unirlos. En el caso de la fila 2 tenemos:

1-2-1............................ 121 = 11²

Cuando los números de la fila constan de más de un dígito, se "reparten" para formar el número final como se observa en el ejemplo siguiente para la fila 5: 

1-5-10-10-5-1........... 1-(5+1)-(0+1)-0-5-1=1-6-1-0-5-1 ............ 161051 = 11⁵

  El "stick de hockey"

Cualquier diagonal que empiece en un extremo del triángulo, y de la longitud que sea, cumple la siguiente propiedad: 

La suma de todos los números que la integran se encuentran justo debajo del último de ellos, en la diagonal contraria.

  El triángulo de Sierpinski 

El curioso dibujo que se forma al pintar de negro los números impares del triángulo y de blanco los pares, recuerda al triángulo de Sierpinski , uun famoso conjunto geométrico (un fractal determinístico que se puede construir a partir de cualquier triángulo) El applet de Java de esta página muestra inicialmente las primeras filas del triángulo de Pascal. Se puede aumentar el número de filas y se puede elegir entre colorear los números pares o no colorearlos. Cuando se elige colorear se observa perfectamente que al ir aumentando el número de filas el objeto resultante se va aproximando al triángulo de Sierpinski.

  Cambiando extremos

2            1   2         1   3   2      1   4   5   2    1   5   9   7  2 1   6   14  16  9  2

¿Qué pasaría si cambiamos los unos de uno de los lados externos del triángulo de Pascal por doses ?. ¿Qué relaciones numéricas se pueden encontrar? ¿Qué sucedería si en lugar de doses colocamos treses o cuatros?