Propiedades del triángulo de
Pascal
Triángulo de Pascal con
algunas casillas coloreadas. Se puede observar como se distribuyen los valores
simétricamente alrededor del eje vertical. Los valores de las casillas de ambos
lados (en amarillo, verde y rojo) tienen igual valor, debido a la propiedad de
simetría.
Los casillas exteriores, (en azul) tienen valor
nulo y las casillas en violeta proporcionan un ejemplo de la regla de Pascal.
Cada uno de los valores de un triángulo de Pascal
escritos en forma de tabla corresponden a un coeficiente de la expansión de
una potencia de sumas. Concretamente, el número en la línea ny la columna p corresponde a
, o también denotado como ( por "combinación") y se dice «n sobre p»,«combinación de n en p» o «coeficiente binomial n, p».
Las casillas vacías corresponden a valores nulos. Usando las propiedades de
los coeficientes binomiales, se pueden obtener las siguientes propiedades de
cualquier triángulo de Pascal con todo rigor:
Los valores de cada fila del triángulo guardan simetría respecto al eje vertical imaginario del mismo, debido a que
Los valores de cada fila del triángulo guardan simetría respecto al eje vertical imaginario del mismo, debido a que
·
Los valores correspondientes a
la zona fuera del triángulo tienen valor 0, puesto que cuando p > n.
·
Y claro, la regla de Pascal de
construcción del triángulo da la relación fundamental de los coeficientes
binomiales
Una consecuencia interesante del triángulo de
Pascal es que la suma de todos los valores de una fila cualquiera del triángulo
es una potencia de 2. Esto es debido a que, por el teorema del binomio,
la expansión de la n-potencia de
(1 + 1) = 2 es
que corresponde precisamente con la suma de todos
los valores de la n-ésima fila de un triángulo de Pascal.
- Números poligonales¿Podríais decir qué sucesiones son las que forman las diagonales del triángulo? Las primeras de la izquierda y la derecha no son más que unos. Las segunda forman la sucesión de los números naturales... ¿Y la tercera? ¿Y la cuarta?En la diagonal tercera marcada aparecen
, pero
además en la inmediata inferior aparecen los números tetragonales, es
decir, los que forman las pirámides triangulares, cuyos pisos son a su vez
números triangulares
se encuentran en el triángulo de Pascal recurriendo
a la misma diagonal que en el caso anterior: construimos cada uno sumando dos
números triangulares consecutivos. Eso nos proporciona: 1, 4, 9, 16, 25, ...
De hecho, por este método recurrente podemos construir todos los números
poligonales, y en ese sentido están presentes en el triángulo de Pascal.
Números primos
Si el primer elemento de una fila es un número primo, todos los números de esa
fila serán divisibles por él (menos el 1, claro). Así, en la fila 7: (1 7 21 35
35 21 7 1), los números 7,21 y 35 son divisibles por 7.
La suma
de los elementos
La suma de los elementos de cualquier fila es el resultado de elevar 2 al
número que define a esa fila. Así:
20 = 1
21 = 1+1 = 2
22 = 1+2+1 = 4
23 = 1+3+3+1 = 8
24 = 1+4+6+4+1 = 16
Sucesión
de Fibonacci
La serie de
Fibonacci puede ser encontrada también en el triángulo de Pascal. Dividiendo al
mismo según las líneas que mostramos en el diagrama, los números atrapados
entre ellas suman cada uno de los elementos de esta sucesión.
Recordemos que esta sucesión (que, por cierto, se construye de manera similar
al triángulo de Pascal), es:
1,1,2,3,5,8,13,21,...
(an+1 = an + an-1con a0 =
1, a1= 1)
Potencias de 11
Podemos interpretar cada fila como un único número. Si la fila está formada por
números de un solo dígito, basta unirlos. En el caso de la fila 2 tenemos:
1-2-1............................ 121 = 112
Cuando los números de la fila constan de más de un dígito, se
"reparten" para formar el número final como se observa en el ejemplo
siguiente para la fila 5:
1-5-10-10-5-1........... 1-(5+1)-(0+1)-0-5-1=1-6-1-0-5-1 ............ 161051 =
115
El
"stick de hockey"
La suma de todos los números que la integran se encuentran justo debajo del
último de ellos, en la diagonal contraria.
El triángulo de Sierpinski
El curioso dibujo que se forma al pintar de negro los números impares
del triángulo y de blanco los pares, recuerda al triángulo de Sierpinski
, uun famoso conjunto geométrico (un fractal determinístico que se puede
construir a partir de cualquier triángulo) El applet de Java de esta página muestra inicialmente las primeras filas del triángulo de
Pascal. Se puede aumentar el número de filas y se puede elegir entre colorear
los números pares o no colorearlos. Cuando se elige colorear se observa
perfectamente que al ir aumentando el número de filas el objeto resultante se
va aproximando al triángulo de Sierpinski.
Cambiando
extremos
2
1 2 1 3 2 1 4 5 2 1 5 9 7 2 1 6 14 16 9 2 |
¿Qué
pasaría si cambiamos los unos de uno de los lados externos del triángulo de
Pascal por doses ?. ¿Qué relaciones numéricas se pueden encontrar? ¿Qué
sucedería si en lugar de doses colocamos treses o cuatros?
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